FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
BAB
II
1.
Konsep
fungsi
Fungsi
atau Pemetaan merupakan Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi
atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur dalam himpunan A berpasangan
tepat hanya dengan sebuah unsur dalam himpunan B.f adalah suatu fungsi dari
himpunan A ke himpunan B, maka fungsi f dilambangkan dengan f : A à B
Operasi
dalam Fungsi :
Penjumlahan : (f+g)(x) = f(x) + g(x)
Pengurangan : (f-g)(x) = f(x) – g(x)
Perkalian : (f.g)(x) = f(x) . g(x)
Pembagian : (f/g)(x) = f(x) / g(x)
jika x ÎA dan y Î B, sehingga (x,y) Î f, maka y disebut peta atau
bayangan dari x oleh fungsi f dinyatakan dengan lambang y : f (x)
|
|
y = f (x) : rumus untuk fungsi f
x = disebut variabel bebas
y = disebut variabel tak bebas
Contoh :
Diketahi f : A à B dan dinyatakan oleh rumus f (x) = 2x – 1.
Jika daerah asal A ditetapkan A : {x | 0 £ x £ 4. x Î R}
Jika daerah asal A ditetapkan A : {x | 0 £ x £ 4. x Î R}
a.
Tentukan f (0), f (1), f (2), f
(3) dan f (4).
b.
Gambarkan grafik fungsi y : f (x)
= 2x – 1 dalam bidang kartesius.
c.
Tentukan daerah hasil dari fungsi
f.
Jawab :
a.
f (x) = 2x – 1, maka :
f (0) = -1
f (1) = 1
f (2) = 3
f (3) = 5
f (4) = 7
b. Grafik fungsi y : f (x) = 2x – 1
c. Daerah hasil fungsi f è Rf = {y | -1 £ y £ 7, y Î R}
Jika daerah asal dari suatu fungsi f tidak atau belum ditentukan, maka
dapat diambil daerah asalnya himpunan dari semua bilangan real yang mungkin,
sehingga daerah hasilnya merupakan bilangan real. Daerah asal yang ditentukan
dengan cara seperti itu disebut daerah asal alami (natural domain).
Contoh :
Tentukan daerah asal alami dari fungsi berikut :
2. Pengertian fungsi komposisi
Merupakan
penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan sehingga menghasilkan
sebuah fungsi baru. Penggabungan tersebut disebut
komposisi fungsi dan hasilnya disebut fungsi komposisi Operasi komposisi dilambangkan dengan o
(dibaca : komposisi atau bundaran).
Misalkan: f : A ®
B dan g : B ®
C
Ditulis:
h(x) = (gof)(x) = g(f(x))
(gof)(x) = g(f(x)) ada
hanya jika Rf ∩ Dg ≠ Ø
Adapun Nilai fungsi komposisi (gof)(x)
untuk x = a adalah (gof)(a) = g(f(a)).
n Notasi : (f o g)(a) =
f(g(a)) à fungsi yang memetakan nilai
dari g(a) ke f
Contoh :
1. Diketahui
fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut
f = {(0,1),
(2,4), (3,-1),(4,5)} dan g = {(2,0), (1,2), (5,3), (6,7)}
Tentukanlah:
a)
(f o g)
b) (g o f)
c) (f o g)(1)
d) (g o f)(4)
Jawab:
a) (f o g) =
{(2,1), (1,4), (5,-1)}
b) (g o f) =
{(0,1), (4,3)}
c) (f o g)(1) =
4
d) (g o
f)(4)
Contoh
2. Diketahui
f : R
® R ;
f(x) = 2x² +1, g : R ® R ;
g(x) = x + 3
(f o g)(x) = f(g(x))
= f(x+3)
= 2(x+3)²+1
= 2(x² + 6x + 9) + 1
= 2x²+12x+19
Jawab:
(g o
f)(x) = g(f(x))
= g(2x²+1)
= 2x² + 1 + 3
= 2x² + 4
(f o g)(1) =
f(g(1))
= f(4) = 2. (4)² +1
= 2.16 + 1
= 33
(g o f)(1) =
g(f(1))
= g(3)
= 3 + 3
= 6
3. Contoh
:
Diketahui A = {x
l x < -1}, B dan C adalah himpunan bilangan real.
f : A → B dengan f(x) =
-x + 1; g : B → C dengan
g(x) = x2 dan
h = g o f : A → C. Bila x di A
dipetakan ke 64 di C, tentukan nilai x!
Jawab:
h(x) = (g o f)(x)
= g(f(x))
= g(-x + 1)
= (-x + 1)2
h(x) = 64 → (-x + 1)2
=
64 ↔ -x +
1
= ± 8
-x + 1 = 8 ↔ x = -7 atau –x
+ 1 = -8 ↔ x =
9
Karena A = {x l
x < -1}, maka nilai x yang memenuhi adalah x = -7.
Contoh
4. Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)).
Jika f(x) = 2x +
p dan g(x) = 3x + 120 maka nilai p = … .
Jawab:
f(x) = 2x + p dan
g(x) = 3x + 120
g(f(x)) = f(g(x))
g(2x+ p) = f(3x +
120)
3(2x + p) + 120 =
2(3x + 120) + p
6x + 3p + 120 =
6x + 240 + p
3p – p = 240 –
120
2p = 120 ® p = 60
1.
Sifat-sifat Komposisi Fungsi
perhatikan
contoh soal :
1. Diketahui sebuah f(x) = 2x + 1, g(x) = 3 – x, dan h(x) = x2 +
2, I(x) = x
Maka nilai
(f
o g)(x) = f(g(x))
= f(3-x)
= 2(3-x) + 1
= 6 – 2x + 1
= 7 – 2x
(g o
f)(x) = g(f(x))
= g(2x+1)
= 3 – (2x+1)
= 3 – 2x – 1
= 2 – 2x
(g o
h)(x) = g(h(x))
= g(x2 + 2)
= 3 – (x2 + 2)
= 1 - x2
Dari hasil di atas tampak bahwa (fog)(x) ≠ (g o
f)(x)
Kemudian
nilai
((fog)oh)(x)
= (fog)(h(x))
= (fog)( x2 + 2)
= 7 – 2(x2 + 2) = 3 - 2x2
(fo(goh))(x)=f((goh)(x))
=
f(1 - x2)
= 2(1 - x2) + 1
= 2 – 2 x2 + 1
= 3 – 2
x2
Dari
hasil di atas tampak bahwa ((fog)oh)(x) =
(fo(goh))(x)
Begitu juga
(foI)(x)
= f(I(x)) = f(x) = 2x + 1
(Iof)(x)
= I(f(x)) = I(2x+1) = 2x + 1
Dari hasil di atas tampak bahwa (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x)
Sehingga perhatikan contoh soal berikut:
1. diketahui f : R → R dan g : R → R dengan f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2
+ 5
Tentukan:
a. (g o f)(x)
b. (f o g)(x)
jawab:
f(x)
= 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5
a.
(g o
f)(x) = g[f(x)] = g(3x – 1)
= 2(3x – 1)2
+ 5
= 2(9x2
– 6x + 1) + 5
= 18x2 – 12x + 2 + 5
= 18x2 –
12x + 7
b. f
o g)(x) = f[g(x)] = f(2x2 + 5)
= 3(2x2 + 5) – 1
= 6x2 + 15 – 1
(f o g)(x) = 6x2 + 14
(g o f)(x) = 18x2 – 12x + 7
(g o f)(x) ≠ (f o g )(x) tidak bersifat komutatif
1. Konsep Fungsi Invers
Ø Definisi
Jika fungsi f : A ® B dinyatakan dengan pasangan
terurut f:{(a,b)laÎA dan bÎB}, maka invers dari fungsi f
adalah f-1: B ® A ditentukan oleh: f-1:{(b,a)lbÎB dan aÎA}.
Jika f : A ® B, maka f mempunyai fungsi invers f-1 : B
® A jika dan hanya jika f adalah fungsi bijektif atau korespondensi
1-1.
Jika f : y = f(x) ® f -1 :
x = f(y)
Maka (f o f -1)(x) = (f-1
o f)(x) = I(x) (fungsi identitas)
ingat :
Fungsi kuadrat secara umum tidak
mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika domainnya dibatasi.
5. Aplikasi fungsi komposisi
Ø Menentukan
Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Sebuah Fungsi Lain Diketahui
Misalkan fungsi komposisi (f o g)(x)
atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi f(x) juga diketahui, maka kita bisa
menentukan fungsi g(x). Demikian pula jika fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g
o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi g(x) juga diketahui, maka kita bisa
menentukan fungsi f(x).
Contoh :
1.
Diketahui
g(x) = 3 – 2x dan (g o f)(x) = 2x2 + 2x – 12, tentukan rumus fungsi
f(x)!
Cara 1:
(g o f)(x) = 2x2
+ 2x – 12
g(f(x)) = 2x2 + 2x – 12
3 – 2f(x) = 2x2 + 2x – 12
-2f(x) = 2x2 + 2x – 15
f(x) = -x2 – x + 7,5
Post a Comment